Финансовая математика: Регулярные Финансовые потоки.
Настоящая и будущая стоимость простых аннуитетов.

Будем рассматривать простой аннуитет, т.е. конечную серию одинаковых платежей, срок между которыми равен периоду конверсии процентной ставки (для определенности – один год). Нашей целью будет определить настоящую стоимость аннуитета и его сумму, т.е. его будущую стоимость на момент завершения последнего интервала платежа.

Будем считать, что процентная ставка равна i, а общее число платежей равно n. Рассмотрим сначала аннуитет с ежегодным платежом равным 1. Заметим, что будущая стоимость последнего платежа в момент n равна 1; предпоследнего, который имел место годом ранее, – 1+i; предшествующего ему – (1+i) ²; и т.д. Таким образом, мы видим, что будущие стоимости платежей формируют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 1+i, а по формуле геометрической прогрессии мы имеем :

Обозначение является общепринятым обозначением для будущей стоимости аннуитета с единичными платежами и читается “s уголок n при i”.

Настоящая стоимость этого аннуитета получается при дисконтировании , т.е. умножении на (1 + i) ^{– n}. Т.е. формула для настоящей стоимости аннуитета будет иметь вид :

Настоящая () и будущая () стоимости единичного аннуитета часто используются в финансовых вычислениях и поэтому ранее включались в таблицы для финансовых вычислений, а в настоящее время являются стандартными функциями табличных процессоров.

Для определения настоящей и будущей стоимости простого аннуитета с платежами величины x достаточно умножить x на или соответственно.

Рассмотрим теперь отсроченный аннуитет с периодом отсрочки t. (Период отсрочки – промежуток времени между датой, на которую выполняются финансовые вычисления, и началом первого интервала платежа. Например, если ежеквартальный аннуитет начинается с первой выплаты, которая будет иметь место через 10 месяцев после текущей даты, то период отсрочки будет равен 7 месяцам.)

При расчете настоящей стоимости аннуитета с отсрочкой мы можем вычислить его стоимость на момент начала первого интервала платежа, т.е. на момент t, использовав уже выведенную формулу настоящей стоимости простого аннуитета, а потом привести эту стоимость к настоящему времени, умножив на (1 + i) ^{– t}. Таким образом, настоящая стоимость аннуитета с n платежами величины x и периодом отсрочки t при процентной ставке i равна :

Аналогично будет выводится и формула для расчета будущей стоимости этого аннуитета в момент последнего платежа :

Из этих формул вытекают формулы для настоящей и будущей стоимости полагающегося аннуитета, который можно считать отсроченным аннуитетом с периодом отсрочки, равным –1 (период конверсии):

и

Заметим, что здесь будущая стоимость рассчитывается на момент окончания последнего интервала платежа, т.е. на 1 год позднее, чем при просто отсроченном аннуитете.