СФМ: Основные гипотезы.
Броуновское движение и его основные свойства.

Броуновское движение играет роль последовательности случайных величин, генерирующих нестабильность анализируемых величин в моделях с непрерывным временем, ибо только в этой последовательности не счетное множество членов, а имеющее мощность множества действительных чисел. Броуновское движение – это не один какой-то процесс, а достаточно широкий класс процессов, некоторые из которых будут рассмотрены ниже.

Итак, стандартное Броуновское движение, B_t , есть непрерывный гауссовский случайный процесс с однородными независимыми приращениями c B₀ = 0. При этом E B_t = 0 , E B_t² = t , Cov( B_t , B_s ) = E B_t B_s = min (s, t).

Из стандартного броуновского движения с помощью простых преобразований можно получить случайные процессы, которые также являются броуновскими движениями:

А теперь перейдем к основным свойствам броуновского движения:

1. Броуновское движение является пределом дискретных случайных блужданий, при условии, что частота событий, вызывающих блуждания, стремится к бесконечности, а масштаб этих событий стремится к нулю.
2. Броуновское движение является марковским процессом, но могут быть построены и родственные процессы с памятью, чтобы, например, перевести автокорреляционные модели в непрерывное время.
3. Мартингалом является как само броуновское движение, так и процесс B_t² – t .
4. Стохастическая экспонента от броуновского движения, т.е. функция exp ( l B_t – 0,5 l ² t ) является мартингалом и имеет постоянное математическое ожидание равное 1.

Нужна дополнительная информация по теме? Попробуйте следующее:

Критика теории случайных блужданий и представления блужданий в виде броуновского движения.

Модель Кокса - Росса - Рубинштейна.

Расширенная версия параграфа

Вернуться в раздел: Основные гипотезы.